Đáp án:
\[{B_{\min }} = 14 \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\\
\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\\
\Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}},\,\,\,\,\,\,\forall x,y > 0\\
{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Rightarrow xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\\
\Rightarrow ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{1^2}}}{4} = \dfrac{1}{4}
\end{array}\)
Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có:
\(\begin{array}{l}
B = \dfrac{2}{{ab}} + \dfrac{3}{{{a^2} + {b^2}}}\\
= \dfrac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{3}{{2ab}} + \dfrac{1}{{2ab}}\\
= 3.\left( {\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}}} \right) + \dfrac{1}{{2ab}}\\
\ge 3.\dfrac{4}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 2ab}} + \dfrac{1}{{2.\dfrac{1}{4}}}\\
= 3.\dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}}\\
= 3.\dfrac{4}{{{1^2}}} + 2\\
= 14
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \dfrac{1}{2}\)
Vậy \({B_{\min }} = 14 \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}\)
