Đáp án:
Giải thích các bước giải: Tham khảo
Áp dụng BĐT Bunnhiacopsky:
$ a + b = \sqrt{a} + \sqrt{2b} = 1.\sqrt{a} + \sqrt{2}.\sqrt{b} $
$ ≤ \sqrt{(1 + 2)(a + b)} = \sqrt{3(a + b)}$
$ ⇒ \sqrt{a + b} ≤ \sqrt{3} ⇔ 0 ≤ a + b ≤ 3$
Đặt $ t = \sqrt{4 - (a + b)} ⇒ 1 ≤ t ≤ 2$
$ ⇒ a + b = 4 - t²$
$ ⇒ (a + b)² = (4 - t²)² = 16 - 8t² + t^{4}$
$ P = a² + b² + 2(ab + a + b + 1) + 8\sqrt{4 - (a + b)}$
$ = (a + b)² + 2(a + b) + 2 + 8\sqrt{4 - (a + b)}$
$ = 16 - 8t² + t^{4} + 2(4 - t²) + 2 + 8t $
$ = t^{4} - 10t² + 8t + 26$
Tìm $GTNN:$
$ P = t^{4} - 10t² + 8t + 26 = (t - 2)²(t² + 4t + 2) + 18 ≥ 18$
$ ⇒ GTNN$ của $P = 18 ⇔ t - 2 = 0 ⇔ t = 2 $
$ ⇔ a + b = 3 ⇔ a = 1; b = 2$
Tìm $GTLN:$
$ 1 ≤ t ≤ 2 ⇔ t² ≤ 2t ⇔ t² - 2t ≤ 0$
$ 1 ≤ t ≤ 2 ⇔ t² ≤ 4 ⇔ t³ ≤ 4t ⇔ t³ - 4t ≤ 0$
$ ⇒ t³ + t² - 6t ≤ 0 ⇒ t³ + t² - 9t - 1 < 0$
$ ⇔ (t - 1)(t³ + t² - 9t - 1) ≤ 0 ⇔ t^{4} - 10t² + 8t + 1 ≤ 0$
$ ⇒ P t^{4} - 10t² + 8t + 26 ≤ 25$
$ ⇒ GTLN$ của $P = 25 ⇔ t = 1 ⇔ a + b = 0 $
$ ⇔ a = b = 0$
