Cách giải:Dùng phương pháp "Cosi ngược dấu" và dự đoán dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
$+)\dfrac{a}{b^2+1}$
$=\dfrac{ab^2+a-ab^2}{b^2+1}$
$=\dfrac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1}$
$=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}$
Áp dụng BĐT cosi ta có:
$b^2+1 \geq 2b$
$\to \dfrac{ab^2}{b^2+1} \leq \dfrac{ab}{2}$
$\to a-\dfrac{ab^2}{b^2+1} \geq a-\dfrac{ab}{2}$
Hoàn toàn tương tự:
$\dfrac{b}{c^2+1} \geq b-\dfrac{bc}{2}$
$\dfrac{c}{a^2+1} \geq c-\dfrac{ac}{2}$
$\to M \geq a+b+c-(\dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ac}{2})$
Với mọi số thực ta luôn có:
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$
$\to 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)$
$\to ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$
$\to 3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2=9$
$\to ab+bc+ca \leq 3$
$\to \dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ac}{2} \leq \dfrac{3}{2}$
$\to M \geq 3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$(đúng như dự đoán)
