Ta có:
$(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) = a^3 + b^3 +c^3 + ab(a + b) + bc(b+ c) + ca(c+ a)$
$= a^3 + b^3 + c^3 + ab^2 + bc^2 + ca^2 + a^2b + b^2c + c^2a$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$a^3 + ab^2 \geq 2a^2b$
$b^3 + c^2 \geq 2b^2c$
$c^3 + ca^2 \geq 2c^2a$
Do đó:
$a^3 + b^3 + c^3 + ab^2 + bc^2 + ca^2 + a^2b + b^2c + c^2a \geq 2(a^2b + 2b^2c + 2c^2a) + a^2b + b^2c + c^2a = 3(a^2b + b^2c + c^2a)$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a =b = c$
