Cho a, b, c > 0. CMR $\dfrac{1}{a\left(a+1\right)}+\dfrac{1}{b\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{c\left(c+1\right)}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)}$

thinhavicii2211

6 năm trước

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 400 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

dothuhien2506

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của BĐT AM-GM:

$\text{VT}^2=\left[\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}+\frac{1}{c(c+1)}\right]^2\geq 3\left(\frac{1}{ab(a+1)(b+1)}+\frac{1}{bc(b+1)(c+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(c+1)}\right)$

$\Leftrightarrow \text{VT}^2\geq 3.\frac{a^2+b^2+c^2+a+b+c}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 3.\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}$

$\Leftrightarrow \text{VT}^2\geq \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}$ $(1)$

Ta sẽ cm $(a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$ . Thật vậy:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Cộng theo vế: $\Rightarrow 3\geq \frac{3(\sqrt[3]{abc}+1)}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (\sqrt[3]{abc}+1)^3$ (2)

Từ $(1),(2)\Rightarrow \text{VT}^2\geq \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc(1+\sqrt[3]{abc})^3}=\frac{9}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}(1+\sqrt[3]{abc})^2}=\text{VP}^2$

$\Leftrightarrow \text{VT}\geq \text{VP}$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau có nghiệm:

$\left(m-1\right)x^2-2\left(m+3\right)x-m+2\le0$

Cho các số a;b;c không âm .Chứng minh :

$\sqrt[4]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\sqrt[4]{16+\dfrac{196abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}$

Giải phương trình

$\sqrt[3]{x+24}+\sqrt{12-x}=6$

Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2), lập phương trinh tham số của đường thẳng AH và phương trình tổng quát của trung tuyến AM

Giải hệ phương trình :

$\begin{cases}y^2-x\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}=2x-2\\\sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\end{cases}$ $\left(x,y\in R\right)$

Bài 1 : Tìm một số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 13 lần chữ số hàng chục của nó

Bài 2 . Tìm một số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 14 lần chữ số hàng chục của nó

Bài 36 (SBT trang 197)

Rút gọn các biểu thức :

a) $\dfrac{\tan2\alpha}{\tan4\alpha-\tan2\alpha}$

b) $\sqrt{1+\sin\alpha}-\sqrt{1-\sin\alpha}$ , với $0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}$

c) $\dfrac{3-4\cos2\alpha+\cos4\alpha}{3+4\cos2\alpha+\cos4\alpha}$

d) $\dfrac{\sin\alpha+\sin3\alpha+\sin5\alpha}{\cos\alpha+\cos3\alpha+\cos5\alpha}$

Cho tam giác ABC, AB =AC, M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB, AC. C.minh CM=BN

gải PT:

a) $\left|x^2-5x+4\right|=x+4$

b) $x^2-2x+8=\left|x^2-1\right|$

1; tanx+cotx = m. Tính tan2 x + cot2 x