Đáp án:
`1/(2 + a) + 1/(2 + b) + 1/(2 + c) <= 1`
`↔ 2/(2 + a) + 2/(2 + b) + 2/(2 + c) <= 2`
`↔ 1 - 2/(2 + a) + 1 - 2/(2 + b) + 1 - 2/(2 + c) >= 3 - 2`
`↔ a/(a+ 2) + b/(b + 2) + c/(c + 2) >= 1`
Đặt `a = x/y , b = y/z , c = z/x` . Do `a,b,c > 0` nên `x,y,z` cùng dấu
`LHS = (x/y)/(x/y + 2) + (y/z)/(y/z+ 2) + (z/x)/(z/x + 2)`
`= x/(x + 2y) + y/(y + 2z) + z/(z + 2x)`
`+) th1 : x,y,z > 0`
Áp dụng ` BĐT ` cauchy-schwarz dạng engel , có:
`LHS = x^2/(x^2 + 2xy) + y^2/(y^2 + 2yz) + z^2/(z^2 + 2zx) >= (x + y + z)^2/(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) = (x + y + z)^2/(x + y + z)^2 = 1 = RHS`
`-> đpcm`
Dấu "=" `↔ a = b = c = 1`
`+) TH2 : x,y,z < 0` . Đặt `x = -p , y = -q , z = -r (p,q,r > 0)`
`LHS =x/(x + 2y) + y/(y + 2z) + z/(z + 2x)`
`= (-p)/(-p + 2.(-q)
)+ (-q)/(-q + 2.(-r)) + (-r)/(-r + 2.(-p))`
`= p/(p + 2q) + q/(q + 2r) + r/(r + 2p)`
tương tự th1: ..`-> LHS >= 1 = RHS . Dấu "=" ↔ a = b = c= 1`
Giải thích các bước giải:
