Ta có:
$a,b >0$
$\to a + b > 0$
$\to (a-b)^2(a+b) \geq 0$
$\to a^3 + b^3 \geq ab(a+ b)$
Tương tự, ta được:
$b^3 + c^3 \geq bc(b+c)$
$c^3 + a^3 \geq ca(c+ a)$
Cộng vế theo vế, ta được:
$2(a^3 + b^3 + c^3) \geq ab(a + b) + bc(b+ c) + ca(c+ a)$
Mặt khác:
$(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) = a^3 + b^3 +c^3 + ab(a + b) + bc(b+ c) + ca(c+ a)$
Do đó:
$2(a^3 + b^3 + c^3) + a^3 + b^3 + c^3 \geq a^3 + b^3 + c^3 +ab(a + b) + bc(b+ c) + ca(c+ a)$
$\Leftrightarrow 3(a^3 + b^3 + c^3) \geq (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2)$
$\Leftrightarrow 3(a^3 + b^3 + c^3) \geq 3(a^2 + b^2 + c^2)$
$\Leftrightarrow (a^3 + b^3 + c^3) \geq (a^2 + b^2 + c^2)$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$
