Đáp án:
\[{P_{\min }} = \dfrac{{2018}}{3} \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{{2018}}{3}\]
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức sau:
\(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} + \dfrac{{{c^2}}}{z} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}\)\(\,\,\,\,\,\,\left( {a,b,c,x,y,z > 0} \right)\)
Chứng minh bằng bất đẳng thức Bunhia - Copski ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} + \dfrac{{{c^2}}}{z}} \right)\left( {x + y + z} \right) \ge {\left( {\dfrac{a}{{\sqrt x }}.\sqrt x + \dfrac{b}{{\sqrt y }}.\sqrt y + \dfrac{c}{{\sqrt z }}.\sqrt z } \right)^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2}\\
\Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} + \dfrac{{{c^2}}}{z} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi: \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\(\begin{array}{l}
P = \dfrac{{{a^2}}}{{2b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{2c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{2a + b}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\left( {2b + c} \right) + \left( {2c + a} \right) + \left( {2a + b} \right)}}\\
= \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{3.\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{{a + b + c}}{3} = \dfrac{{2018}}{3}
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \dfrac{{2018}}{3}\)
Vậy \({P_{\min }} = \dfrac{{2018}}{3} \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{{2018}}{3}\)
