Đáp án:
`M_{min}=3` khi `a=b=c=1`
Giải thích các bước giải:
`a;b;c>0; \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3`
Với mọi `a;b> 0` ta có:
`\qquad (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0`
`=>a+b\ge 2\sqrt{ab}`
`=>a+b+a+b\ge a+2\sqrt{ab}+b`
`=>2(a+b)\ge (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2`
`=>{2(a+b)}/4\ge {(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}/4`
`=>\sqrt{{a+b}/2}\ge \sqrt{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}/4}`
`=>\sqrt{{a+b}/2}\ge {\sqrt{a}+\sqrt{b}}/2`
Tương tự ta có:
`\qquad \sqrt{{b+c}/2}\ge {\sqrt{b}+\sqrt{c}}/2`
`\qquad \sqrt{{a+c}/2}\ge {\sqrt{a}+\sqrt{c}}/2`
`=>M=\sqrt{{a+b}/2}+\sqrt{{b+c}/2}+\sqrt{{a+c}/2}`
`M\ge {\sqrt{a}+\sqrt{b}}/2+{\sqrt{b}+\sqrt{c}}/2+{\sqrt{a}+\sqrt{c}}/2`
`M\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=1`
Vậy $GTNN$ của $M$ bằng $3$ khi $a=b=c=1$
