Đáp án:
Ta sẽ đi cm điều sau là đúng `(∀a,b,c > 0)`
`(a^2 + bc)/(b + c) + (b^2 + ac)/(a + c) + (c^2 + ab)/(a+ b) >= (b^2 + bc)/(b + c) + (c^2 + ac)/(a + c) + (a^2 + ab)/(a + b) (1)`
`<=> (a^4 + b^4 + c^4 - (ab)^2 - (bc)^2 - (ca)^2)/[(a + b)(b+ c)(c + a)] >= 0 (2)`
Theo BĐT ` Cô si ` ta có :
`a^4 + b^4 >= 2(ab)^2 ; b^4 + c^4 >= 2(bc)^2 ; c^4 + a^4 >= 2(ca)^2`
`-> 2(a^4 + b^4 + c^4) >= 2((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2)`
`-> a^4 + b^4 + c^4 - (ab)^2 - (bc)^2 - (ca)^2 >= 0`
`-> (2)` đúng `(∀a,b,c > 0)`
`-> (1)` đúng `(∀a,b,c > 0)`
Do đó ta có :
`P >= 2((b^2 + bc)/(b + c) + (c^2 + ac)/(a + c) + (a^2 + ab)/(a + b)) -` $\sqrt[4]{a+ b + c}$ `= 2(a + b + c) - ` $\sqrt[4]{a+ b + c}$ `(3)`
Đặt $\sqrt[4]{a+ b + c} = x (x > 0)$ , ta có :
`2(a + b + c) - ` $\sqrt[4]{a+ b + c}$
`= 2x^4 - x`
Ta có : `2x^4 - x + 3/8 = 1/2(x - 1/2)^2[(2x+ 1)^2 + 2] >= 0 (∀x > 0)`
`-> 2x^4 - x >= -3/8`
`-> 2(a + b + c) - ` $\sqrt[4]{a+ b + c}$ `>= -3/8 (4)`
Từ `(3)(4) -> P >= -3/8`
Dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c = 1/48`
Vậy $GTNN$ của `P = -3/8 <=> a = b = c = 1/48`
Giải thích các bước giải:
