Cách làm: áp dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu.
Ta có:
`a^3/{a^2+b^2}={a^3+ab^2-ab^2}/{a^2+b^2}=a-{ab^2}/{a^2+b^2}>=a-{ab^2}/{2ab}=a-b/2`
Hoàn toàn tương tự:
`b^3/{b^2+c^2}>=b-c/2;\ c^3/{c^2+a^2}>=c-a/2`
Cộng vế với vế của các BĐT trên, ta có:
`a^3/{a^2+b^2}+b^2/{b^2+c^2}+c^3/{c^2+a^2}>={a+b+c}/2=6/2=3`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=2`