Giải thích các bước giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử: $a≥b≥c$
$⇒a \in$ max ${a;b;c}$ $⇒$ $1>a≥\frac{1}{3}$
Ta có:
$\frac{b}{b^2+b+1}+\frac{c}{c^2+c+1}=\frac{(b+1)^2}{b^2+b+1}+\frac{(c+1)^2}{c^2+c+1}-2$
$\geq \frac{(b+c+2)^2}{b^2+c^2+b+c+2}-2 \geq \frac{(b+c+2)^2}{(b+c)^2+b+c+2}-2 $
$=\frac{(3-a)^2}{(1-a)^2+b+c+2}-2=\frac{(1-a)(1+a)}{a^2-3a+4} $
Từ đó:
Điều chúng ta cần chứng minh trở thành:
$\frac{(1-a)(1+a)}{a^2-3a+4} \geq \frac{1}{3}-\frac{a}{a^2+a+1} = \frac{(1-a)^2}{3(a^2+a+1)}$
$⇔\frac{1+a}{a^2-3a+4} \geq \frac{1-a}{3(a^2+a+1)}$
$⇔4a^3+2a^2+13a-1\geq 0$ (Luôn đúng)
Vậy cộng các vế của bất đẳng thức tương tự lại và ta thu được điều phải chứng minh cho bài toán.
$2. \sum (\frac{a}{a^2+a+1})≥\frac{1}{3} -\sum \frac{a}{a^2+a+1}$
$⇔ \sum (\frac{a}{a^2+a+1})≥\frac{1}{3} $
$->$Điều phải chứng minh.
