Bổ để. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng Engel với bộ hai 3 số $(a,b,c)\in \mathbb{R}^3$ và $(m,n,p)\in \mathbb{R^+}^3$:
$$\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{p} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{m+n+p} $$
Dấu đẳng thức xảy ra khi$$\dfrac{a}{m}=\dfrac{b}{n}=\dfrac{c}{p}$$
Chứng minh
Ta có:
$$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}&\le\dfrac{3}{4}\\
\Leftrightarrow&\left( 1-\dfrac{1}{1+a} \right)+\left( 1-\dfrac{1}{1+b} \right)+\left( 1-\dfrac{1}{1+c} \right)\le \dfrac{3}{4}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\ge \dfrac{9}{4}
\end{array}$$
Thật vậy, áp dụng bổ đề ta có:
$$\begin{array}{rl}
&\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\\
=&\dfrac{1^2}{1+a}+\dfrac{1^2}{1+b}+\dfrac{1^2}{1+c}\\
\ge&\dfrac{(1+1+1)^2}{3+a+b+c}=\dfrac{3^2}{3+1}=\dfrac{9}{4}(\text{đpcm})
\end{array}$$
Dấu đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
P/s: Bạn viết đề chưa rõ. Bạn nên tìm hiểu cách viết bằng Latex.
