Đáp án:

$MinP=33$ 

Giải thích các bước giải:

Ta có: $1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

$⇒a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=1-(ab+bc+ca)$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta được:

$P\ge \dfrac{9}{ab+bc+ca}+\dfrac{4}{1-(ab+bc+ca)}$

$=\dfrac{4}{1-(ab+bc+ca)}+9[1-(ab+bc+ca)]+\dfrac{9}{ab+bc+ca}+81(ab+bc+ca)-9-72(ab+bc+ca)$

Đặt $t=ab+bc+ca$, khi đó

$P\ge \dfrac{4}{1-t}+9(1-t)+\dfrac{9}{t}+81t-9-72t$

Mặt khác, $3(ab+bc+ca)\le (a+b+c)^2=1$ (thường gặp)

$⇒ab+bc+ca\le \dfrac{1}{3}$

$⇒t\le \dfrac{1}{3}$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$, ta được:

$P\ge 2\sqrt{\dfrac{4}{1-t}.9(1-t)}+2\sqrt{\dfrac{9}{t}.81t}-9-72.\dfrac{1}{3}=12+54-9-\dfrac{72}{3}=33$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Vậy GTNN của $P$ là $33$ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Đáp án:

`P_{min}=33<=>a=b=c=1/3.`

Giải thích các bước giải:

 Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ với `a,b,c>0` ta được:

`1/{ab}+1/{bc}+1/{ca} = 1^2/{ab}+1^2/{bc}+1^2/{ca} ≥ {(1+1+1)^2}/{ab+bc+ca}=9/{ab+bc+ca}`

`=>P≥9/{ab+bc+ca} + 4/{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}`

`=1/{ab+bc+ca} + 4/{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} + 8/{ab+bc+ca}`

`=1^2/{ab+bc+ca}+ 2^2/{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} + 8/{ab+bc+ca}`

Ta áp dụng bất đẳng thức trên một lần nữa:

`P≥(1+2)^2/{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca} + 8/{ab+bc+ca}= 9/(a+b+c)^2 + 8/{ab+bc+ca}`

`= 9/1^2  + 8/{ab+bc+ca}`

`=9 + 8/{ab+bc+ca}`

Dễ chứng minh `a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca`

`<=>a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) ≥3ab+3bc+3ca`

`<=>(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ca)`

`=> ab+bc+ca ≤1/3 . (a+b+c)^2`

`=>ab+bc+ca ≤ 1/3 . 1 = 1/3`

`=> 8/{ab+bc+ca} ≥ 8/ {1/3} = 24`

`=> P≥ 9 + 24 = 33`

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi `a=b=c=1/3.`

Vậy `P_{min}=33<=>a=b=c=1/3.`

_______________

Bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ cho bộ ba số:

Với `a,b,c,x,y,z` là các số thực và `x,y,z>0` thì ta có:

`a^2/x + b^2/y + c^2/z ≥ {(a+b+c)^2}/{x+y+z}.`

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi `a/x=b/y=c/z.`