Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Trước hết, ta có bất đẳng thức sau: `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{(a+b)^2}{x+y} ∀x;y>0`
`⇔\frac{b^2x+a^2y}{xy}≥\frac{(a+b)^2}{x+y}`
$⇔(b^2x+a^2y)(x+y)≥xy(a+b)^2$
$⇔b^2x^2+b^2xy+a^2xy+a^2y^2+y^2≥a^2xy+2abxy+b^2xy$
$⇔b^2x^2-2abxy+a^2y^2≥0$
$⇔(bx-ay)^2≥0$ (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra `⇔\frac{a}{x}=\frac{b}{y}`
Trở lại bài toán:
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
`P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}`
`≥\frac{(1+1)^2}{a+b}+\frac{1}{c}`
`≥\frac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3`
Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c=1$
