Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall a,b \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\\
{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall b,c \Leftrightarrow {b^2} - 2bc + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc\\
{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall c,a \Leftrightarrow {c^2} - 2ca + {a^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca\\
 \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\\
1 = a + b + c\\
 \Leftrightarrow 1 = {\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\
 \Rightarrow ab + bc + ca \le \frac{1}{3}
\end{array}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a+b+c=1 tương đương (a+b+c)^2=1^2

tương đương a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1

tương đương a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=1-3ab-3ac-3bc

tương đương  2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=2-6ab-6ac-6bc

tương đương a^2-2ab+b^2+c^2-2ac+a^2+b^2-2bc+c^2=2(1-3ab-3ac-3bc)

tương đương (a-b)^2+(c-a)^2+(b-c)^2=2[1-3(ab+ac+bc)]

Với mọi a,b,c ta luôn có (a-b)^2 lớn hơn=0

                                       (c-a)^2 lớn hơn=0

                                       (b-c)^2 lớn hơn=0

tương đương (a-b)^2+(c-a)^2+(b-c)^2 lớn hơn=0

tương đương 2[1-3(ab+ac+bc)] lớn hơn=0

tương đương 1-3(ab+ac+bc) lớn hơn=0

tương đương 3(ab+ac+bc) nhỏ hơn=1

tương đương ab+bc+ca <= 1/3 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/3

KL: Vậy a+b+c=1 thì ab+bc+ca <= 1/3