Đáp án:
Sửa đề `a,b,c>0` và chứng minh:`S>=2+8.`
Giải thích các bước giải:
`S=a^2/b+b^2/c+c^2/a+1/a+1/b+1/c`
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski dạng phân thức(cosi-schwart) ta có:
`a^2/b+b^2/c+c^2/a>=(a+b+c)^2/(b+c+a)`
`<=>a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a+b+c`
`<=>S>=a+b+c+1/a+1/b+1/c`
`<=>S>=a+1/(9a)+b+1/(9b)+c+1/(9c)+8/9(1/a+1/b+1/c)`
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta có:
\(\begin{cases}a+\dfrac{1}{9a}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{9a}}=\dfrac{2}{3}\\b+\dfrac{1}{9b}\ge2\sqrt{b.\dfrac{1}{9b}}=\dfrac{2}{3}\\c+\dfrac{1}{9c}\ge2\sqrt{c.\dfrac{1}{9c}}=\dfrac{2}{3}\\\end{cases}\)
`<=>S>=2/3+2/3+2/3+8/9(1/a+1/b+1/c)`
`<=>S>=2+8/9(1/a+1/b+1/c)`
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski dạng phân thức(cosi-schwart) ta có:
`1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)`
Mà `a+b+c<=1`
`=>1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)>=9`
`=>8/9(1/a+1/b+1/c)>=8`
`=>S>=2+8=10`
Dấu "=" xảy ra khi:\(\begin{cases}a=\dfrac{1}{9a}\\b=\dfrac{1}{9b}\\c=\dfrac{1}{9c}\\\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\\a+b+c=1\\\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
