Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\bullet \,\,\,$$a+b+c=1$
$\to c=1-a-b$
$\bullet \,\,\,$${{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}=4$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3{{\left( 1-a-b \right)}^{2}}=4$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3\left( 1+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a-2b+2ab \right)-4=0$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3+3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}-6a-6b+6ab-4=0$
$\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+5{{b}^{2}}-6a-6b+6ab-1=0$
$\Leftrightarrow 5{{b}^{2}}-6b\left( 1-a \right)+\left( 4{{a}^{2}}-6a-1 \right)=0$
$\bullet \,\,\,$Để phương trình có ít nhất một nghiệm thì:
$\,\,\,\,\,\,\,{{\Delta }_{b}}={{b}^{2}}-4ac=0$
$\Leftrightarrow {{\left[ -6\left( 1-a \right) \right]}^{2}}-4.5\left( 4{{a}^{2}}-6a-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow 36\left( {{a}^{2}}-2a+1 \right)-20\left( 4{{a}^{2}}-6a-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow 36{{a}^{2}}-72a+36-80{{a}^{2}}+120a+20=0$
$\Leftrightarrow -44{{a}^{2}}+48a+56=0$
$\Leftrightarrow -11{{a}^{2}}+12a+14=0$
${{\Delta }_{a}}={{b}^{2}}-4ac$
${{\Delta }_{a}}={{12}^{2}}-4.\left( -11 \right).14$
${{\Delta }_{a}}=760>0$
$\to \sqrt{{{\Delta }_{a}}}=2\sqrt{190}$
$\bullet \,\,\,$Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
${{a}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{{{\Delta }_{a}}}}{2a}=\frac{-12+2\sqrt{190}}{2.-11}=\frac{6-\sqrt{190}}{11}$
${{a}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{{{\Delta }_{a}}}}{2a}=\frac{-12-2\sqrt{190}}{2.-11}=\frac{6+\sqrt{190}}{11}$
Vì $a$ lớn nhất nên ta nhận $a=\frac{6+\sqrt{190}}{11}$
Khi $a=\frac{6+\sqrt{190}}{11}$ thì $b=\frac{15-3\sqrt{190}}{55}$ và $c=\frac{10-2\sqrt{190}}{55}$
Vậy $a$ lớn nhất khi:
$\begin{cases}a=\frac{6+\sqrt{190}}{11}\\b=\frac{15-3\sqrt{190}}{55}\\c=\frac{10-2\sqrt{190}}{55}\end{cases}$
