Đáp án :
`N=1/3`
Giải thích các bước giải :
`+)a^3+b^3+c^2=3abc`
`<=>a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`+)Th1 :`
`a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0`
`<=>2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0`
`<=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0` (*)
Vì `(a-b)^2 ≥ 0; (b-c)^2 ≥ 0; (c-a)^2 ≥ 0 ∀ a,b,c ∈ R`
`=>` Để xảy ra (*)
`<=>`$\begin{cases}(a-b)^2=0\\(b-c)^2=0\\(c-a)^2=0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}$
`<=>a=b=c`
`+)Th2 :`
`a+b+c=0 (loại)`
Thay `a=b=c` vào `N=(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)^2,` ta được :
`N=(a^2+a^2+a^2)/(a+a+a)^2`
`<=>N=(3a^2)/(3a)^2`
`<=>N=(3a^2)/(9a^2)`
`<=>N=1/3`
Vậy : `N=1/3`
