Ta có :
`(a^3 + b^3 + c^3+ d^3) - (a+b+c+d)`
` = a^3 + b^3 + c^3 +d^3 - a - b - c - d`
` = (a^3 - a) + (b^3 - b) + (c^3 - c) + (d^3-d)`
`= a (a^2-1) + b (b^2-1) + c (c^2 - 1) + d (d^2 -1)`
`= a (a-1)(a+1) + b (b+1)(b-1) + c (c-1)(c+1) + d (d-1)(d+1)`
Ta thấy :
`a (a-1)(a+1)` là tích của ba số nguyên liên tiếp (do `a \in ZZ`)
`=> a(a-1)(a+1) \vdots 3` `(1)`
`a (a-1) ` là tích của hai số nguyên liên tiếp (do `a \in ZZ`)
`=> a (a-1) \vdots 2`
Mà `a+1 \in ZZ` (do `a \inZZ`)
`=> a(a-1)(a+1) \vdots 2` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra : `a (a-1)(a+1) \vdots 6` (do `2 . 3=6` và `(2,3) = 1`)
Chứng minh tương tự ta có :
` b(b+1)(b-1) \vdots 6`
`c(c+1)(c-1) \vdots 6`
`d(d-1)(d+1) \vdots 6`
`=> a (a-1)(a+1) + b (b+1)(b-1) + c (c-1)(c+1) + d (d-1)(d+1) \vdots 6`
`=> (a^3 + b^3 + c^3+ d^3) - (a+b+c+d) \vdots 6`
Mà `a^3 + b^3 + c^3+ d^3 \vdots 6`
`=> a + b + c + d \vdots 6`
Vậy với `a ; b ; c ; d \in ZZ`, nếu `a^3 + b^3 + c^3+ d^3` chia hết cho `6` thì `a+b+c+d` chia hết cho `6`.
