Ta thấy: `(a-b)^2≥0`

`⇒a^2-2ab+b^2≥0`

`⇒a^2+b^2≥2ab`

`⇒a^2+2ab+b^2≥4ab`

`⇒(a+b)^2≥4ab`

`⇒a+b≥2\sqrt{ab}` $(*)$

Từ $(*)$.Suy ra: `a^3/b+bc≥2a\sqrt{ac}    (1)`

` b^3/c+ca≥2b\sqrt{ba}    (2)`

` c^3/a+ab≥2c\sqrt{cb}     (3)`

Từ `(1);(2);(3)` ta được:

`a^3/b+b^3/c+c^3/a+(ab+bc+ca)≥2(a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb})`  $(**)$

Từ $(*)$.Suy ra:

`a^3/b+ab≥2a^2(4)`

`b^3/c+bc≥2b^2(5)`

`c^3/b+bc≥2c^2(6)`

Từ `(4);(5);(6)` ta có:

`a^3/b+ab+b^3/c+bc+c^3/b+bc≥2a^2+2b^2+2c^2`

`⇒a^3/b+b^3/c+c^3/b≥2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ca`

`⇒2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ca≥a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca`

`⇒a^3/b+b^3/c+c^3/b≥ab+bc+ca`

`⇒2(a^3/b+b^3/c+c^3/b)≥a^3/b+b^3/c+c^3/b+ab+bc+ca` $(***)$

Từ $(**);(***)$ ta có: `2(a^3/b+b^3/c+c^3/b)≥2(a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb})`

`⇒a^3/b+b^3/c+c^3/b≥a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}` (Đpcm)

Đáp án + giải thích các bước giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử `a>=b>=c`

*) Ta sẽ chứng minh `a^3/b+b^3/c+c^3/a>=a^2+b^2+c^2 (1)`

`->a^3/b-a^2+b^3/c-b^2+c^3/a-c^2>=0`

`->a^2((a-b)/b)+b^2((b-c)/c)+c^2((c-a)/a)>=0`

`->a^2((a-b)/b)+b^2((b-c)/c)+c^2((c-b+b-a)/a)>=0`

`->a^2((a-b)/b)+b^2((b-c)/c)-c^2((b-c)/a)-c^2((a-b)/a)>=0`

`->(a-b)(a^2/b-c^2/a)+(b-c)(b^2/c-c^2/a)>=0`

`->(a-b)((a^3-c^2b)/(ab))+(b-c)((b^2a-c^3)/(ac))>=0 (2)`

Vì `a>=b>=c>0`

`->`\begin{cases} a-b\ge0 \\ a^3-bc^2\ge0 \\ ab>0\\ b-c\ge0 \\ ab^2-c^2\ge0 \\ ac>0 \end{cases}

`->(2)` đúng

`->(1)` đúng

*) Ta sẽ chứng minh `a^2+b^2+c^2>=a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb} (3)`

`->a^2-a\sqrt{ac}+b^2-b\sqrt{ba}+c^2-c\sqrt{cb}>=0`

`->a\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{c})+b\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})+c\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{b})>=0`

`->a\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{b}-\sqrt{c})+b\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})+c\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{b})>=0`

`->a\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})+a\sqrt{a}(\sqrt{b}-\sqrt{c})-b\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})-c\sqrt{c}(\sqrt{b}-\sqrt{c})>=0`

`->(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a\sqrt{a}-b\sqrt{b})+(\sqrt{b}-\sqrt{c})(a\sqrt{a}-c\sqrt{c})>=0 (4)`

Vì `a>=b>=c>0`

`->`\begin{cases} \sqrt{a}-\sqrt{b}\ge0\\ a\sqrt{a}-b\sqrt{b}\ge0\\ \sqrt{b}-\sqrt{c}\ge0\\ a\sqrt{a}-c\sqrt{c}\ge0 \end{cases}

`->(4)` đúng

`->(3)` đúng

`->a^3/b+b^3/c+c^3/a>=a^2+b^2+c^2>=a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}`

`->đpcm`