Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$a,b,c>0$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\\
 = \left( {a + b + c} \right).\left( {\dfrac{{{1^2}}}{a} + \dfrac{{{1^2}}}{b} + \dfrac{{{1^2}}}{c}} \right)\\
 \ge \left( {a + b + c} \right).\dfrac{{{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\left( {BDT:Cauchy - Schwarz} \right)\\
 = \left( {a + b + c} \right).\dfrac{9}{{a + b + c}}\\
 = 9
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c} \Leftrightarrow a = b = c$

b) Ta có:

$a,b,c>0$

Và

$A = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
A + 3 = \left( {\dfrac{a}{{b + c}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{b}{{c + a}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{c}{{a + b}} + 1} \right)\\
 = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{a + b + c}}{{c + a}} + \dfrac{{a + b + c}}{{a + b}}\\
 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)\\
 = \dfrac{1}{2}\left( {\left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right) + \left( {a + b} \right)} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)
\end{array}$

$ \ge \dfrac{1}{2}.9$ (Áp dụng câu a)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow A + 3 \ge \dfrac{9}{2}\\
 \Rightarrow A \ge \dfrac{3}{2}
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra 

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{b + c}} = \dfrac{1}{{a + c}} = \dfrac{1}{{a + b}}\\
 \Leftrightarrow b + c = a + c = a + b\\
 \Leftrightarrow a = b = c
\end{array}$

Ta có điều phải chứng minh.