Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét tích \(A = \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) = \left( {ab - b - a + 1} \right)\left( {c - 1} \right)\\ = abc - ab - bc + b - ac + a + c - 1\\ = abc + \left( {a + b + c} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) - 1\\ = \left( {a + b + c} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right)\end{array}\)
Mà
\(\begin{array}{l}a + b + c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \Leftrightarrow a + b + c > bc + ca + ab\\ \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) - \left( {bc + ca + ab} \right) > 0\end{array}\)
Do đó \(A = \left( {a + b + c} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) > 0\) hay \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) > 0\).
Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 > 0\\b - 1 > 0\\c - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\b > 1\\c > 1\end{array} \right. \Rightarrow abc > 1\) (mâu thuẫn giả thiết, loại)
Do đó trong ba thừa số \(a - 1,b - 1,c - 1\) phải có hai thừa số âm và một thừa số dương.
Không mất tính tổng quát giả sử \(a - 1 < 0,b - 1 < 0,c - 1 > 0\) hay \(a < 1,b < 1,c > 1\).
Vậy trong ba số chỉ có duy nhất một số lớn hơn \(1\) (đpcm)
