$+)\quad Với \,\, a + b + c = 0$ ta được:
$\quad \begin{cases}a + b = - c\\b + c = -a\\c + a = -b\end{cases}$
$\to \begin{cases}\dfrac{a + b}{a}= - \dfrac ca\\\dfrac{b + c}{b} = -\dfrac ab\\\dfrac{c + a}{c} = -\dfrac bc\end{cases}$
$\to \begin{cases}1 + \dfrac ba = - \dfrac ca\\1+ \dfrac cb= -\dfrac ab\\1 + \dfrac ac = -\dfrac bc\end{cases}$
$\to \left(1 + \dfrac ba\right)\left(1 + \dfrac cb\right)\left(1 + \dfrac ac\right) = \left(-\dfrac ca\right)\left(-\dfrac ab\right)\left(-\dfrac bc\right)$
$\to M = -1$
$+)\quad Với \,\, a + b + c \ne 0$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
$\dfrac{a + b - c}{c} =\dfrac{b + c -a}{a}=\dfrac{c + a - b}{b}=\dfrac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1$
$\to \begin{cases}a+b-c = c\\b + c - a = a\\c + a - b = b\end{cases}$
$\to \begin{cases}a+b=2c\\b + c =2a\\c + a =2b\end{cases}$
$\to \begin{cases}\dfrac{a + b}{a}= 2\dfrac ca\\\dfrac{b + c}{b} = 2\dfrac ab\\\dfrac{c + a}{c} = 2\dfrac bc\end{cases}$
$\to \begin{cases}1 + \dfrac ba = 2\dfrac ca\\1+ \dfrac cb= 2\dfrac ab\\1 + \dfrac ac = 2\dfrac bc\end{cases}$
$\to \left(1 + \dfrac ba\right)\left(1 + \dfrac cb\right)\left(1 + \dfrac ac\right) = 2\dfrac ca\cdot 2\dfrac ab\cdot 2\dfrac bc$
$\to M = 8$
