Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=1\)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}

phamha55

2 năm trước

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}}}}\)
A.\({{P}_{\max }}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
B.\({{P}_{\max }}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
C.\({{P}_{\max }}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
D.\({{P}_{\max }}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 23 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

leekey

Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:\(\begin{align} & \frac{1}{\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}+\frac{1}{27}\ge \frac{2}{\sqrt{27\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}} \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{27}}{2}\left( \frac{1}{\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}+\frac{1}{27} \right) \\ \end{align}\)
Chứng minh tương tự ta có
\(\begin{align} & \frac{1}{\sqrt{5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{27}}{2}\left( \frac{1}{\left( 5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}} \right)}+\frac{1}{27} \right) \\ & \frac{1}{\sqrt{5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{27}}{2}\left( \frac{1}{\left( 5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}} \right)}+\frac{1}{27} \right) \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow P\le \frac{\sqrt{27}}{2}\left( \frac{1}{\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}+\frac{1}{\left( 5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}} \right)}+\frac{1}{\left( 5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}} \right)}+\frac{1}{9} \right)\)
Sử dụng BĐT \(\frac{1}{x+y+z}\le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\)ta có:
\(\begin{align} & \frac{1}{\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}=\frac{1}{3{{a}^{2}}+\left( 2ab+{{a}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)}\le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{3{{a}^{2}}}+\frac{1}{2ab+{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}} \right) \\ & \le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{3{{a}^{2}}}+\frac{1}{9}\left( \frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{{{a}^{2}}} \right)+\frac{1}{9}\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}} \right) \right) \\ & =\frac{1}{9}\left( \frac{5}{9{{a}^{2}}}+\frac{2}{9ab}+\frac{2}{9{{b}^{2}}} \right) \\ \end{align}\)
Ta lại có \(\frac{2}{9ab}\overset{Cauchy}{\mathop{\le }}\,\frac{1}{9}\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}} \right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}\le \frac{1}{9}\left( \frac{5}{9{{a}^{2}}}+\frac{1}{9{{a}^{2}}}+\frac{1}{9{{a}^{2}}}+\frac{2}{9{{b}^{2}}} \right)=\frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{b}^{2}}} \right)\)
CMTT ta có :
\(\begin{align} & \frac{1}{5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}}}\le \frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{b}^{2}}}+\frac{1}{3{{c}^{2}}} \right) \\ & \frac{1}{5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}}}\le \frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{c}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}} \right) \\ & \Rightarrow \frac{1}{\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}+\frac{1}{\left( 5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}} \right)}+\frac{1}{\left( 5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}} \right)} \\ & \le \frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{b}^{2}}} \right)+\frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{b}^{2}}}+\frac{1}{3{{c}^{2}}} \right)+\frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{c}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}} \right)=\frac{1}{9}\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)=\frac{1}{9} \\ & \Rightarrow P\le \frac{\sqrt{27}}{2}.\left( \frac{1}{9}+\frac{1}{9} \right)=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{align}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=b=c \\ & \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\).
Vậy \({{P}_{\max }}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Chọn B

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

a) Rút gọn biểu thức: \(P=\frac{{{x}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1-y \right)}-\frac{{{y}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( 1+x \right)}-\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+x \right)\left( 1-y \right)}.\)
b) Chứng minh rằng: \(\sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}}+.....+\sqrt{1+\frac{1}{{{2017}^{2}}}+\frac{1}{{{2018}^{2}}}}<2018.\)
A.a) \(P=x+xy-2y.\)
B.a) \(P=x+xy-y.\)
C.a) \(P=2x-xy-y.\)
D.a) \(P=2x+xy-2y.\)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên \( \left( x;y \right)\) thỏa mãn \( 2{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}=41+2xy\)
b) Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn \( {{n}^{3}}+2019\) chia hết cho 6.
A.a) \( \left( x;y \right)\in \left\{ \left( 1;4 \right);\left( -1;-3 \right);\left( 2;3 \right);\left( -2;-4\right) \right\}\) .
b)  337 số tự nhiên n
B.a) \( \left( x;y \right)\in \left\{ \left( -1;3 \right);\left( -1;-3 \right);\left( 3;3 \right);\left( -3;-3 \right) \right\}\) .
b)  337 số tự nhiên n
C.a) \( \left( x;y \right)\in \left\{ \left( 1;3 \right);\left( -1;-3 \right);\left( 2;3 \right);\left( -2;-3 \right) \right\}\) .
b)  337 số tự nhiên n
D.a) \( \left( x;y \right)\in \left\{ \left( 4;3 \right);\left( -4;-3 \right);\left( 2;3 \right);\left( -2;-3 \right) \right\}\) .
b)  337 số tự nhiên n

Chất nào sau đây thuộc loại đisaccarit?
A.glucozo
B.saccarozo
C.xenlulozo
D.tinh bột

Khi thủy phân mantozo trong môi trường axit thu được sản phẩm là
A.glucozo.
B.fructozo.
C.glucozo và frutozo.
D.không bị thủy phân.

Đồng phân của saccarozo là?
A.tinh bột.
B.gluccozo.
C.fructozo.
D.mantozo.

Trong quá trình sản xuất đường người ta tẩy trắng nước đường bằng
A.Nước giaven.
B.Nước clo.
C.Khí sunfuro.
D.Clorua vôi.

a) Giải phương trình \(\sqrt{2x+3}=x.\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng \(y=-x-2\ \ \left( {{d}_{1}} \right)\) và \(y=\frac{3}{2}x+3\ \ \left( {{d}_{2}} \right).\) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của \(\left( {{d}_{1}} \right)\) và \(\left( {{d}_{2}} \right)\) với trục Oy và C là giao điểm của \(\left( {{d}_{1}} \right)\) với \(\left( {{d}_{2}} \right)\) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Cho tam giác ABC có \(AB=8cm,\ \ BC=17cm,\ CA=15cm.\) Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
d) Một hình nón có chu vi đường tròn đáy là \(6\pi \ cm,\) độ dài đường sinh là \(5cm.\) Tính thể tích hình nón đó.
A.a) \(x=3.\) b) \({{S}_{ABC}}= 5\)
c) \(C= 6\pi \ cm.\) d) \(V=12\pi \ c{{m}^{3}}.\)
B.a) \(x=3.\) b) \({{S}_{ABC}}= 6\)
c) \(C= 6\pi \ cm.\) d) \(V=12\pi \ c{{m}^{3}}.\)
C.a) \(x=3.\) b) \({{S}_{ABC}}= 3\)
c) \(C= 4\pi \ cm.\) d) \(V=12\pi \ c{{m}^{3}}.\)
D.a) \(x=7.\) b) \({{S}_{ABC}}= 5\)
c) \(C= 6\pi \ cm.\) d) \(V=10\pi \ c{{m}^{3}}.\)

Cho các nhận định sau về không bào, nhận định nào sai?
A.Không bào ở tế bào thực vật có chứa các chất dự trữ, sắc tố, ion khoáng và dịch hữu cơ...
B.Không bào được tạo ra từ hệ thống lưới nội chất và bộ máy Gôngi
C.Không bào được bao bọc bởi lớp màng kép
D.Không bào tiêu hóa ở động vật nguyên sinh khá phát triển.

Hêmôglôbin có nhiệm vụ vận chuyển oxi trong máu gồm 2 chuỗi pôlipeptit α và 2 chuỗi pôlipeptit β. Bào quan làm nhiệm vụ tổng hợp prôtein cung cấp cho quá trình tổng hợp hemoglobin là?
A.Ti thể
B.Bộ máy Gôngi
C.Lưới nội chất hạt
D.Lưới nội chất trơn

Cấu trúc nằm bên trong tế bào gồm một hệ thống túi màng dẹp xếp chồng lên nhau được gọi là?
A.Lưới nội chất
B.Bộ máy Gôngi
C.Riboxom
D.Màng sinh chất

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến