Đáp án:
`abc<=1/8`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=1`
`<=>\frac{(1+a)-1}{1+a}+\frac{(1+b)-1}{1+b}+\frac{(1+c)-1}{1+c}=1`
`<=>1-\frac{1}{1+a}+1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=1`
`<=>\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2`
`=>\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}`
Mặt khác do `a,b,c` là các số dương nên
`\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=\frac{1}{1+a}>=2\sqrt{\frac{bc}{(1+b)(1+c)}}` `(1)`
Tương tự, ta có:
`\frac{1}{1+b}>=2\sqrt{\frac{ac}{(1+a)(1+c)}}` `(2)`
`\frac{1}{1+c}>=2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}` `(3)`
Từ `(1),(2)` và `(3)`
`=>\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}>=2\sqrt{\frac{bc}{(1+b)(1+c)}}.2\sqrt{\frac{ac}{(1+a)(1+c)}}.2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}`
`<=>\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}>=\frac{8abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}`
`<=>1>=8abc`
`<=>abc<=1/8` (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c=1/2`
