Ta có:
$a + \sqrt{bc}\leq a+ \dfrac{b + c}{2} = \dfrac{2a + b + c}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{a^2}{a + \sqrt{bc}}\geq \dfrac{2a^2}{2a + b + c}$
Tương tự, ta được:
$\dfrac{b^2}{b + \sqrt{ca}}\geq \dfrac{2b^2}{2b + c + a}$
$\dfrac{c^2}{c + \sqrt{ab}}\geq \dfrac{2c^2}{2c + a + b}$
Cộng vế theo vế ta được:
$\dfrac{a^2}{a + \sqrt{bc}} + \dfrac{b^2}{b + \sqrt{ca}}+ \dfrac{c^2}{c + \sqrt{ab}} \geq \dfrac{2a^2}{2a + b + c} + \dfrac{2b^2}{2b + c + a} + \dfrac{2c^2}{2c + a + b}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\dfrac{2a^2}{2a + b + c} + \dfrac{2b^2}{2b + c + a} + \dfrac{2c^2}{2c + a + b} \geq \dfrac{2(a + b + c)^2}{2a + b + c + 2b + c + a + 2c + a + b}=\dfrac{2(a + b + c)^2}{4(a + b + c)}=\dfrac{a + b + c}{2}\geq \dfrac{3}{2}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$
