Đáp án:
`A_{min}=9` khi `a=b=c`
Giải thích các bước giải:
`A=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)`
`=a.(1/a+1/b+1/c)+b.(1/a+1/b+1/c)+c.(1/a+1/b+1/c)`
`=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1`
`=(1+1+1)+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`
`=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm `a;b;c` ta có:
`a/b+b/a≥2\sqrt{a/b.(b)/a}=2`
`a/c+c/a≥2\sqrt{a/c.(c)/a}=2`
`b/c+c/b≥2\sqrt{b/c.(c)/b}=2`
`\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥2+2+2`
`\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥6`
`\to3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥9`
`\toA≥9`
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: `a=b=c`
Vậy `A_{min}=9` khi `a=b=c`
