Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt vế trái của BĐT là P
Ta có:
$(b^2+1)(1+3) \geq \left(b+\sqrt{3} \right)^2$
$⇒b^2+1 \geq \dfrac{1}{4}\left(b+\sqrt{3} \right)^2$
$⇒\sqrt{b^2+1} \geq \dfrac{1}{2}\left(b+\sqrt{3} \right)$
Hoàn toàn tương tự:
$\sqrt{c^2+1} \geq \dfrac{1}{2}\left(c+\sqrt{3} \right)$; $\sqrt{a^2+1} \geq \dfrac{1}{2}\left(a+\sqrt{3} \right)$
Do đó:
$P \geq a·\dfrac{1}{2}\left(b+\sqrt{3} \right)+b·\dfrac{1}{2}\left(c+\sqrt{3} \right)+c·\dfrac{1}{2}\left(a+\sqrt{3} \right)$
$⇒P \geq \dfrac{ab+bc+ca}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)$
$⇒P \geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{3(ab+bc+ca)}=2$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $ a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
