Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện \(ab + bc + ca = 3\) và \(a \ge c\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}\)A.\( \frac{7}{2

966511733680367

2 năm trước

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện \(ab + bc + ca = 3\) và \(a \ge c\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}\)
A.\( \frac{7}{2}\)
B.\( \frac{5}{2}\)
C.\( \frac{3}{2}\)
D.\( \frac{1}{2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 34 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Tramloga

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Áp dụng bổ đề : \({m^2} + {n^2} + {p^2} \ge mn + np + pm\,\,\,\left( 1 \right);\,\,{\left( {m + n + p} \right)^2} \ge 3\left( {mn + np + pm} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\) (Với m, n, p là các số không âm)
Chứng minh bổ để 1 :
\(\begin{array}{l}{m^2} + {n^2}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2mn;\,\,{n^2} + {p^2}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2np;\,\,{p^2} + {m^2}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2pm\\ \Rightarrow 2\left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right) \ge 2\left( {mn + np + pm} \right) \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} + {p^2} \ge mn + np + pm\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m = n = p\).
Chứng minh bổ đề 2:
\({\left( {m + n + p} \right)^2} = {m^2} + {n^2} + {p^2} + 2\left( {mn + np + pm} \right) \ge mn + np + pm + 2\left( {mn + np + pm} \right) = 3\left( {mn + np + pm} \right)\)
Đặt \(X = \frac{1}{{a + 1}};\,\,Y = \frac{1}{{b + 1}};\,\,Z = \frac{1}{{c + 1}}\;\;\left( {X,Y,Z > 0} \right)\)
Vì \(a \ge c \Rightarrow Z \ge X \Rightarrow {Z^2} \ge {X^2} \Rightarrow 3{Z^2} = 2{Z^2} + {Z^2} \ge 2{Z^2} + {X^2}\)
\( \Rightarrow P = {X^2} + 2{Y^2} + 3{Z^2} \ge 2\left( {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}} \right) \ge 2\left( {XY + YZ + ZX} \right)\) (Áp dụng bổ đề 1).
Áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có \(3 = ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \le 1 \Leftrightarrow abc \le 1\)
Áp dụng bổ đề 2 ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) = 3.3 = 9 \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\)
\( \Leftrightarrow a + b + c \ge 3abc\)
Do đó
\(\begin{array}{l}XY + YZ + ZX = \frac{1}{{a + 1}}.\frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{b + 1}}.\frac{1}{{c + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}.\frac{1}{{a + 1}}\\ = \frac{{c + 1 + a + 1 + b + 1}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}} = \frac{{a + b + c + 3}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\\\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) = \left( {ab + a + b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) = abc + ac + bc + c + ab + a + b + 1\\ = abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1 \le \frac{{a + b + c}}{3} + 3 + a + b + c + 1 \le \frac{4}{3}\left( {a + b + c + 3} \right)\\ \Rightarrow XY + YZ + ZX \ge \frac{{a + b + c + 3}}{{\frac{4}{3}\left( {a + b + c + 3} \right)}} = \frac{3}{4}\\ \Rightarrow P \ge 2.\frac{3}{4} = \frac{3}{2}\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow X = Y = Z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 1\).
Chọn C

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Một vật nặng lăn không trượt trên đường tròn được mô tả bằng phương trình tọa độ góc: = 3 + 2t ( tính theo rad/s và tính t theo s). Góc quét sau 3s kể từ khi bắt đầu chuyển động là
A. = 3,7 rad
B. = 33 rad
C. = 3,3 rad
D. = 37 rad

Ở ngô, tính trạng chiều cao cây do hai cặp gen A , a và B , b tương tác cộng gộp quy định, mỗi alen trội tác động giúp cây cao thêm 5 cm. Cho cây cao nhất lai với cây thấp nhất (P) thu được F1 100% cây cao 90 cm. Có bao nhiêu nhận định đúng?
I. Chiều cao tối đa của cây ngô là 100 cm.
II. Cho các cây F1 giao phấn, thu được tối đa 5 loại cây khác nhau về chiều cao.
III. Cho các cây F1 giao phấn, xác suất thu được cây cao 90 cm là 0,25.
IV. Cây cao 90 cm có tối đa 3 kiểu gen.
A.2
B.3
C.4
D.1

Cho P dị hợp về 2 cặp gen tự thụ phấn thu được đời con có 6 loại kiểu hình. Biết 2 gen cùng nằm trên 2 cặp nhiễm sắc thể khác nhau. Có bao nhiêu nhận định đúng?
I. Có hiện tượng trội không hoàn toàn.
II. Tỷ lệ kiểu hình ở đời con là 6:3:3:2:1:1.
III. Tỷ lệ kiểu gen ở đời con là 4:2:2:2:1:1.
IV. Hai gen tương tác với nhau cùng quy định một tính trạng.
A.3
B.2
C.1
D.4

Ở tằm, những con đực cho năng suất tơ cao hơn con cái. Alen A quy định trứng màu sáng trội hoàn toàn so với alen a quy định trứng màu sẫm và nằm trên nhiễm sắc thể X không có alen tương ứng trên Y. Phép lai nào sau đây giúp lựa chọn tằm đực, tằm cái từ giai đoạn trứng?
A.XaY × XAXa
B.XAY × XAXa
C.XaY × XAXA
D. XAY × XaXa .

Ở người gen quy định nhóm máu có 3 alen IA , IB , IO; alen D quy định mắt đen trội hoàn toàn so với alen d quy định mắt xanh; alen M quy định lông mi dài trội hoàn toàn so với alen m quy định lông mi ngắn. Một cặp vợ chồng sinh đôi cùng trứng được hai con gái là Hà và Huệ. Hà lấy chồng có nhóm máu B, mắt đen, lông mi ngắn; Huệ lấy chồng có nhóm máu B, mắt xanh, lông mi dài. Hà sinh được hai con gái là Vân và Hồng, Vân có nhóm máu B, mắt xanh, lông mi dài còn Hồng có nhóm máu O, mắt xanh, lông mi dài. Huệ sinh được một con gái có nhóm máu A, mắt đen, lông mi ngắn. Có bao nhiêu nhận xét đúng khi nói về sự di truyền các tính trạng ở đại gia đình trên?
I. Kiểu gen của Hà và Huệ là IAIODdMm .
II. Sinh con có thể xuất hiện một trong cả 4 nhóm máu trên thì con gái của Huệ lấy chồng phải có kiểu gen quy định nhóm máu là IAIB .
III. Xác suất sinh để vợ chồng chị Huệ sinh được một đứa con trai có nhóm máu O, mắt đen, lông mi
dài là 3/64
IV. Hai chị em Vân và Hồng là sinh đôi cùng trứng.
A.4
B.3
C.2
D.1

Một quần thể thực vật tự thụ phấn, alen A quy định quả tròn trội hoàn toàn so với alen a quy định quả dài. Thế hệ xuất phát (P) có 95% cây quả tròn : 5% cây quả dài, sau 2 thế hệ thu được F2 gồm 80% cây quả tròn : 20% cây quả dài. Biết không có đột biến xảy ra, theo lý thuyết có bao nhiêu phát biểu sau đây đúng?
I.Tần số alen A và a ở thế hệ P lần lượt là 0,75 và 0,25.
II.Tỷ lệ kiểu gen dị hợp ở P là 40%.
III.Ở F1 quả tròn thuần chủng chiếm 85%.
IV.Nếu các cá thể F1 giao phấn ngẫu nhiên với nhau thì thu được F2 có 62,5% cây thuần chủng.
A.2
B.1
C.3
D.4

Ở một loài động vật, alen A quy định cánh dài trội hoàn toàn so với alen a quy định cánh cụt; alen B quy định thân xám trội hoàn toàn so với alen b quy định thân đen. Hai gen này cùng nằm trên 1 cặp NST tương đồng. Cho lai hai cá thể dị hợp có cùng kiểu gen (P). Trong tổng số các cá thể thu được ở đời con, số cá thể có kiểu gen đồng hợp lặn về 2 cặp gen chiếm tỷ lệ 18%. Có bao nhiêu phép lai có thể thỏa mãn?
I. P:\(\frac{{AB}}{{ab}} \times \frac{{AB}}{{ab}}\) , xảy ra hoán vị gen 1 bên.
II. P:\(\frac{{AB}}{{ab}} \times \frac{{AB}}{{ab}}\) , xảy ra hoán vị gen 2 bên với tần số như nhau.
III. P:\(\frac{{Ab}}{{aB}} \times \frac{{Ab}}{{aB}}\) , xảy ra hoán vị gen 1 bên.
III. P: \(\frac{{Ab}}{{aB}} \times \frac{{Ab}}{{aB}}\), xảy ra hoán vị gen 2 bên với tần số như nhau.
A.3
B.4
C.1
D.2

Cho hàm số \(y = - {x^2}\) có đồ thị là Parabol \(\left( P \right)\).
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số đã cho.
b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = - 2x + 1\) bằng phép tính.
A.\(A\left( {1; - 1} \right)\).
B.\(A\left( {2; - 1} \right)\).
C.\(A\left( {1; - 3} \right)\).
D.\(A\left( {6; - 1} \right)\).

1) Giải phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\)
2) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 8\\x + 3y = 1\end{array} \right.\)
A.1) \(S = \left\{ {2;3} \right\}\)
2) \(\left( {x;y} \right) = \left( {7; - 2} \right)\).
B.1) \(S = \left\{ {1;3} \right\}\)
2) \(\left( {x;y} \right) = \left( {7; - 2} \right)\).
C.1) \(S = \left\{ {1;3} \right\}\)
2) \(\left( {x;y} \right) = \left( {7; - 3} \right)\).
D.1) \(S = \left\{ {1;4} \right\}\)
2) \(\left( {x;y} \right) = \left( {6; - 2} \right)\).

Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật bằng kính (không nắp) có chiều dài 80 cm, chiều rộng 50 cm, chiều cao 45 cm. Mực nước trong bể cao 35 cm. Người ta cho vào bể một hòn đá có thể tích tăng 20000 cm3. Hỏi mực nước trong bể lúc này cao bao nhiêu?
A.40 cm
B. 30 cm
C. 60 cm
D.50 cm

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến