Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên: $a,b,c > 0$
Ta có: $(a - b)² ≥ 0$
$⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0$
$⇔ a² + b² ≥ 2ab$
Chứng minh tương tự ta có: $b² + c² ≥ 2bc$ ; $a² + c² ≥ 2ac$
Cộng 3 vế, ta được:
$a² + b² + b² + c² + a² + c² ≥2ab + 2bc + 2ac$
$⇔ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ac)$
$⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac$
Ta tiếp tục xét:
$a < b + c$ ( Tính chất 3 cạnh trong tam giác)
$⇔ a² < a(b + c)$ ( $a > 0$ nên nhân vào ko đổi dấu )
$⇔ a² < ab + ac$
Chứng minh tương tự ta được: $b² < bc + ab$ ; $c² < ac + bc$
Cộng 3 vế, ta được:
$a² + b² + c² < ab + ac + bc + ab + ac + bc$
$⇔ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)$
Vậy $ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)$
