Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét $ΔABC$ có $BC=a;AC=b;AB=c$
Kẻ đường cao $AH.$ Đặt $CH=x$
Không mất tổng quát, giả sử $a≥b≥c$
$⇒∠B;∠C$ là các góc nhọn
$⇒H$ nằm trên cạnh $BC$
Do `p=\frac{a+b+c}{2}⇒a+b+c=2p`
Xét $ΔABH$ vuông tại $H$
$⇒AB^2=HB^2+HA^2$ (định lí Pytago)
$⇒HA^2=AB^2-BH^2=c^2-(a-x)^2=c^2-a^2+2ax-x^2(1)$
Xét $ΔACH$ vuông tại $H$
$⇒AC^2=HA^2+HC^2$ (định lí Pytago)
$⇒HA^2=AC^2-HC^2=b^2-x^2(2)$
Từ $(1);(2)⇒c^2-a^2+2ax-x^2=b^2-x^2$
$⇔2ax=a^2+b^2-c^2⇒x=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}$
Ta có: `(2)⇔HA^2=b^2-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}`
Gọi $S$ là diện tích tam giác, ta có:
`S=\frac{1}{2}BC.AH`
`⇒S^2=\frac{1}{4}BC^2.AH^2`
`=\frac{1}{4}a^2.[b^2-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}]=\frac{a^2.[4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]}{16a^2}`
`=\frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{16}=\frac{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}{16}`
`=\frac{[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]}{16}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b)}{16}`
`=\frac{(a+b+c)[(a+b+c)-2c][(c+a+b)-2a][(c+a+b)-2b]}{16}`
`=\frac{2p(2p-2c)(2p-2a)(2p-2b)}{16}=p(p-a)(p-b)(p-c)`
`⇒S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}(đpcm)`
