Đặt `{(BC=a),(AC=b),(AB=c),(AD=x),(BE=y),(CF=z):}`
Kẻ `BM////AD\ (M∈AC)`
`=>{(\hat{M}=\hat{A_1}),(\hat{B_1}=\hat{A_2}):}`
Mà `\hat{A_1}=\hat{A_2}` (vì `AD` là tia phân giác `\hat{BAC}`)
`=>\hat{M}=\hat{B_1}`
`=>\triangle ABM` cân tại `A`
`=>AM=AB=c`
Xét `\triangle AMB` có:
`BM<AM+AB` (BĐT trong `\triangle`)
`=>BM<2c`
Xét `\triangle BCM` có:
`AD////BM`
`=>(AD)/(BM)=(CA)/(CM)` (hệ quả định lí ta lét)
Mà `{(AD=x),(CA=b),(CM=AM+AC=c+b):}`
`=>(x)/(BM)=(b)/(b+c)\ (1)`
Ta có: `BM<2c`
`=>(x)/(BM)>(x)/(2c)\ (2)`
Từ `(1)` và `(2)=>(b)/(b+c)>(x)/(2c)`
`=>x<(2bc)/(b+c)`
`=>1/x>(b+c)/(2bc)`
`=>1/x>1/2(1/b+1/c)\ (3)`
Tương tự:
`1/y>1/2(1/a+1/c)\ (4)`
`1/z>1/2(1/a+1/b)\ (5)`
Cộng vế cho vế của `(3);(4);(5)` ta có:
`1/x+1/y+1/z>1/2(1/a+1/c+1/b+1/c+1/a+1/b)`
`<=>1/x+1/y+1/z>1/2. 2(1/a+1/b+1/c)`
`<=>1/x+1/y+1/z> 1/a+1/b+1/c`
`=>` Điều phải chứng minh.
