Ta có: với $\forall x, y,z\in\mathbb{R}$
$$\begin{array}{rl}
&(a+b+c)^3\\
=& (a+b)^3+c^3+3c(a+b)(a+b+c)\\
=& a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3c(a+b)(a+b+c) \\
=& a^3+b^3+c^3+3(a+b)[ab+c(a+b+c)] \\
=& a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a) \\
\end{array}$$
Suy ra: $1^3=1+3(a+b)(b+c)(c+a) \Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$
Do vai trò $a,b,c$ như nhau nên ta xét $a=-b \Rightarrow c=1$
Khi đó: $a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}=a^{2011}+\left( -a^{2011} \right)+1^{2011}=1$