Đáp án: `P_{max}=\frac{12}{5}⇔a=2;b=\frac{6}{5}`
Giải thích các bước giải:
Trước hết, ta có bất đẳng thức sau: $(a+b)^2≥4ab∀a;b(*)$
Chứng mnh:
$(*)⇔a^2+b^2+2ab≥4ab$
$⇔a^2+b^2-2ab≥0$
$⇔(a-b)^2≥0$ (luôn đúng)
Trở lại bài toán:
Áp dụng bất đẳng thức $(*)$ ta được:
`144=(3a+5b)^2≥4.3a.5b⇒60ab≤144⇒P=ab≤\frac{12}{5}`
Dấu bằng xảy ra $⇔3a=5b⇔b=\dfrac{3}{5}a$
Thay $3a=5b$ vào đẳng thức đã cho, ta được:
$12=3a+3a=6a⇒a=2$
`⇒b=\frac{3}{5}.2=\frac{6}{5}`
