Cho a, b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn \({\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.\(a = \dfrac{1}{b}\) B.\(a = b\) C.\(a = \dfrac{1}{{{b^2}}}\) D.\(a = {b^2}\)
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất \({\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a e 1,\,\,b > 0} \right).\) Sử dụng định lý Vi-et đảo: Cho hai số u, v thỏa mãn \(u + v = S\) và \(uv = P\) thì u, v là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\). Giải chi tiết:Ta có \({\log _{{a^2}}}b + {\log _{{b^2}}}a = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _a}b + {\log _b}a = 2.\) Vì \({\log _a}b.{\log _b}a = 1\) nên \({\log _a}b,\,\,{\log _b}a\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Suy ra \({\log _a}b = {\log _b}a = 1\)hay \(a = b\). Chọn B.