Ta có:
$AB$ là phân giác của $\widehat{HAI}$
$\Rightarrow \widehat{HAI} = 2\widehat{HAB} \quad (1)$
Ta lại có:
$\widehat{HAB} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)
$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow MA = MC$
$\Rightarrow ΔMAC$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{AMB} = 2\widehat{MCA} =2\widehat{ACB}\quad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow \widehat{HAI} = \widehat{AMB}$
mà $\widehat{AMB} + \widehat{HAM} = 90^o$
nên $\widehat{HAI} + \widehat{HAM} = 90^o$
$\Rightarrow ΔAIM$ vuông tại $A$
$\Rightarrow \cos\widehat{AMI} = \dfrac{AM}{MI}$
$\Rightarrow \cos\widehat{AMI} = \dfrac{MC}{MI}$
Bên cạnh đó:
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:
$\dfrac{BH}{BI} = \dfrac{AH}{AI}$
$\Rightarrow \dfrac{BH}{BI} = \cos\widehat{HAI}$
$\Rightarrow \dfrac{BH}{BI} = \cos\widehat{AMB}\qquad (\widehat{HAI} = \widehat{AMB}:\,cmt)$
Do đó ta được:
$\dfrac{BH}{BI} = \dfrac{MC}{MI}$
$\Rightarrow BI.BC = BH.MI$
