a) Ta có: $ABCD$ là hình bình hành
$AC\cap BD =\left\{O\right\}$
$\Rightarrow OA = OC;\, OB = OD$
Ta lại có: $AM = NC$
$\Rightarrow OA - AM = OC - NC$
$\Rightarrow OM = ON$
Xét tứ giác $BMDN$ có:
$OM = ON\quad (cmt)$
$OB = OD$
Do đó $BMDN$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ 5)
b) Ta có:
$AM = MN = NC$
$\Rightarrow NC =\dfrac{1}{3}AC$
$\Rightarrow NC = \dfrac13\cdot 2OC = \dfrac23OC$
Ta lại có:
$CO$ là trung tuyến ứng với cạnh $BD\quad (OB = OD)$
$\Rightarrow N$ là trọng tâm $∆BCD$
$\Rightarrow BN$ là trung tuyến ứng với cạnh $CD$
Gọi $I$ là trung điểm $CD$
$\Rightarrow BN$ đi qua $I$
Vậy $BN$ đi qua trung điểm $I$ của $CD$
