$a)\widehat{BCD}=\widehat{ACD}($Do chắn 2 cung bằng nhau $AD,DB)$
$\Rightarrow CD$ là phân giác $\widehat{BCA}$
$b)\widehat{MBI}=\widehat{MDI}($Do chắn 2 cung bằng nhau $AE,EC)$
Tứ giác $BDMI$ có $D$ và $B$ cùng nhìn $MI$ dưới 1 góc bằng nhau
$\Rightarrow BDMI$ nội tiếp
$c)\widehat{IDE}=\widehat{ADE}($Do chắn 2 cung bằng nhau $AE,CE)$
$\widehat{AED}=\widehat{IED}($Do chắn 2 cung bằng nhau $AD,DB)$
Xét $\Delta DAE$ và $\Delta DIE$
$DE$: chung
$\widehat{IDE}=\widehat{ADE}\\ \widehat{AED}=\widehat{IED}\\ \Rightarrow \Delta DAE = \Delta DIE\\ \Rightarrow DA=DI;EA=EI$
$\Rightarrow DE$ là trung trực $AI$
$\Rightarrow DE \perp AI$
$d)BDMI$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{B_1}($Cùng chắn cung $DM)$
Mà $\widehat{C_1}=\widehat{B_1}($Cùng chắn cung $AD)$
$\Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{C_1}\\ \Rightarrow MI//AC$