Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:

Vận dụng linh hoạt bất đẳng thức AM – GM kết hợp giả thiết.Giải chi tiết:Áp dụng bất đẳng thức AM – GM  ta có:
\(4\left( {c + ab} \right)\left( {a + bc} \right) \le \)\({\left( {c + a + ab + bc} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a + c} \right)\left( {b + 1} \right)} \right]^2}\)
\(4\left( {b + ac} \right)\left( {c + ab} \right)\)\( \le {\left( {b + c + ac + ab} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {b + c} \right)\left( {a + 1} \right)} \right]^2}\)
\(4\left( {a + bc} \right)\left( {b + ac} \right)\)\( \le {\left( {a + b + ac + bc} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {c + 1} \right)} \right]^2}\)
Nhân vế với vế ta được \({\left[ {8\left( {c + ab} \right)\left( {a + bc} \right)\left( {b + ca} \right)} \right]^2}\)\( \le {\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \right]^2}{\left[ {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} \right]^2}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{\left( {c + ab} \right)\left( {a + bc} \right)\left( {b + ca} \right)}}\)\( \ge \dfrac{8}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\,\,\,\left( 1 \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM  cho 3 số dương ta có:
\(6 = \left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) + \left( {c + 1} \right)\)\( \ge 3\sqrt[3]{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\)\( \Rightarrow 8 \ge \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
\(P = \sqrt {\dfrac{{a + b}}{{c + ab}}}  + \sqrt {\dfrac{{b + c}}{{a + bc}}}  + \sqrt {\dfrac{{c + a}}{{b + ca}}} \) \( \ge 3\sqrt[3]{{\sqrt {\dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{\left( {c + ab} \right)\left( {a + bc} \right)\left( {b + ca} \right)}}} }} \ge 3\) (do \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\))
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1\).
Vậy \(Min\,P = 3\) khi \(a = b = c = 1\).
Chọn B.