$a)AFHE$ có $E$ và $F$ cùng nhìn $AH$ dưới 1 góc $90^o$
$\Rightarrow AFHE$ nội tiếp đường tròn
$BCEF$ có $E$ và $F$ cùng nhìn $BC$ dưới 1 góc $90^o$
$\Rightarrow BCEF$ nội tiếp đường tròn
$b)H$ là giao điểm 2 đường cao $BE,CF$ của $\Delta ABC$
$\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ABC$
$\Rightarrow AH \perp BC$
$c)BFHD$ có $D$ và $F$ cùng nhìn $BH$ dưới 1 góc $90^o$
$\Rightarrow BFHD$ nội tiếp đường tròn
$\Rightarrow \widehat{FBH}=\widehat{FDH}(1)$
$ABDE$ có $D$ và $E$ cùng nhìn $AB$ dưới 1 góc $90^o$
$\Rightarrow ABDE$ nội tiếp đường tròn
$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ADE}(1)\Leftrightarrow \widehat{FBH}=\widehat{ADE}(2)\\ (1)(2)\Rightarrow \widehat{FDH}=\widehat{ADE}$ $\Rightarrow DH$ là phân giác của $\widehat{EDF}$
$d)$Cmtt
$\Rightarrow EH$ là phân giác của $\widehat{FED}$
Mà $DH$ là phân giác của $\widehat{EDF}$
$\Rightarrow H$ tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$
