a) Ta có: $EK \perp AB \, (gt)$
$\Rightarrow \widehat{EHB} = 90^o$
$EK \perp BC \, (gt)$
$\Rightarrow \widehat{EKB} = 90^o$
Xét tứ giác $BHEK$ có:
$\widehat{EHB} + \widehat{EKB} = 180^o$
Do đó $BHEK$ là tứ giác nội tiếp
b) Do $BHEK$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{BKH} = \widehat{BEH}$ (cùng nhìn cạnh $BH$)
mà $\widehat{BEH} = \widehat{BAC}$ (cùng phụ $\widehat{AEH}$)
$\Rightarrow \widehat{BKH} = \widehat{BAC}$
Xét $∆BKH$ và $∆BAC$ có:
$\widehat{ABC}:$ góc chung
$\widehat{BKH} = \widehat{BAC} \, (cmt)$
Do đó $∆BKH \sim ∆BAC \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{BK}{BA} = \dfrac{BH}{BC}$
Hay $BH.BA = BK.BC$
Xét tứ giác $AHKC$ có:
$\widehat{BKH} = \widehat{BAC} \, (cmt)$
$\widehat{BKH}$ là góc ngoài của $\widehat{HKC}$
Do đó $AHKC$ là tứ giác nội tiếp
c) Kẻ $ED \perp FC \, (D \in FC)$
$\Rightarrow HEDF$ là hình chữ nhật
mà $I$ là trung điểm của đường chéo $EF$
$\Rightarrow I$ là trung điểm của đường chéo $HD$
hay $H, I, D$ thẳng hàng $(1)$
$∆DEF$ vuông tại $D$ có $I$ là trung điểm cạnh huyền $EF$
$\Rightarrow DI = IE = IF$
$\Rightarrow ∆DIE$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{EDI} = \widehat{DEI}$
mà $\widehat{DEI} = \widehat{DHF} = \widehat{EFH}$ ($HEDF$ là hình chữ nhật)
nên $\widehat{EDI} = \widehat{EFH}$
Ta lại có: $BCEF$ là tứ giác nội tiếp ($\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^o$ và cùng nhìn cạnh $BC$)
nên $\widehat{EFH} = \widehat{ECB}$ (cùng bù $\widehat{EFB}$)
$\Rightarrow \widehat{EDI} = \widehat{ECB}$
Mặt khác, ta có $EDKC$ là tứ giác nội tiếp ($\widehat{EDC} = \widehat{EKC} = 90^o$ và cùng nhìn cạnh $EC$)
$\Rightarrow \widehat{ECB} + \widehat{EDK} = 180^o$
mà $\widehat{EDI} = \widehat{ECB}$ $(cmt)$
nên $\widehat{EDI} + \widehat{EDK} = 180^o$
$\Rightarrow I, D, K$ thẳng hàng $(2)$
Từ $(1),(2) \Rightarrow H, I, K$ thẳng hàng
