Vẽ $MP;NQ\perp BC$ lần lượt tại $P;Q$
`=>MP`//$AH$//$NQ$
`=>{MA}/{NA}={PH}/{QH}`$(1)$
$\\$
Xét $∆OBC$ có $OB=OC=R$
`=>∆OBC` cân tại $O$
`=>\hat{OBC}=\hat{OCB}`
Ta có:
`\hat{MBP}+90°+\hat{OBC}=\hat{NCQ}+90°+\hat{OCB}`
`=>\hat{MBP}=\hat{NCQ}`
$\\$
Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
`=>MA=MB; NA=NC`
$\\$
Xét $∆MPB$ và $∆NQC$ có:
`\qquad \hat{MPB}=\hat{NQC}=90°`
`\qquad \hat{MBP}=\hat{NCQ}`
`=>∆MPB∽∆NQC` (g-g)
`=>{MP}/{NQ}={MB}/{NC}={MA}/{NA}` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>{MP}/{NQ}={PH}/{QH}`
$\\$
Xét $∆MPH$ và $∆NQH$ có:
`\qquad \hat{MPH}=\hat{NQH}=90°`
`\qquad {MP}/{NQ}={PH}/{QH}` (c/m trên)
`=>∆MPH∽∆NQH` (c-g-c)
`=>\hat{MHP}=\hat{NHQ}`
`=>90°-\hat{MHP}=90°-\hat{NHQ}`
`=>\hat{MHA}=\hat{NHA}`
Mà tia $HA$ nằm giữa hai tia $HM$ và $HN$
`=>HA` là tia phân giác của `\hat{MHN}` (đpcm)
