Đáp án:
Im(f)={(t1,t2,t3)∈$R^{3}$|t1-3t2+5t3=0}
Giải thích các bước giải:
Ta có:
(x,y)∈Ker(f)<=>f(x,y)=0
Ta có hệ pt:
•x+2y=0
•2x-y=0 <=>x=0,y=0
•x-y=0
Do đó:Ker(f)={0}
Ta đi tìm Im(f).Theo định nghĩa, ta có:
∀u=(t1,t2,t3)∈$R^{3}$ :u∈Im(f)
<=>E(x,y)∈$R^{2}$ ,f(x,y)=u
<=>E(x,y)∈$R^{2}$,ta có hệ pt:
•x+2y=t1
2x-y=t2
x-y=t3
<=>Hệ Ax=B có nghiệm,trong đó:
A=$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&-1\\1&-1\end{array}\right]$ ;B=$\left[\begin{array}{ccc}t1\\t2\\t3\end{array}\right]$ và X=$\left(\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right)$ là ẩn.
Ta biện luận hệ Ax=B bằng pp Gauss:
(A|B)=$\left(\begin{array}{ccc}1&2&|t1\\2&-1&|t2\\1&-1&|t3\end{array}\right)$ =$\left(\begin{array}{ccc}1&2&|t1\\0&-5&|t2-2t1\\0&-3&|t3-t1\end{array}\right)$
=$\left(\begin{array}{ccc}1&2&|t1\\0&-5&|t2-2t1\\0&0&|t1-3t2+5t3\end{array}\right)$
Như vậy,hệ Ax=B có nghiệm <=>t1-3t2+5t3=0
Do đó:Im(f)={(t1,t2,t3)∈$R^{3}$|t1-3t2+5t3=0}
*Notes:
f là đơn ánh
Ker(f) không gian vecto con cuả v
Im(f) không gian vecto con cuả W
