Giải thích các bước giải:

 Ta có : $\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy} + \dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz}  + \dfrac{z^2+x^2-y^2}{2zx} = 1$ (*)

$⇔\bigg( \dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy} -1\bigg)+ \bigg(\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz} -1\bigg) + \bigg(\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2zx}+1\bigg) = 0$

$⇔ \dfrac{(x-y)^2-z^2}{2xy} + \dfrac{(y-z)^2-x^2}{2yz} + \dfrac{(z+x)^2-y^2}{2zx} = 0 $

$⇔ \dfrac{(x-y-z).(x-y+z)}{2xy} + \dfrac{(y-z-x).(y-z+x)}{2yz} + \dfrac{(z+x+y).(z+x-y)}{2zx} = 0 $ 

$⇔ z.(x-y-z).(x-y+z) + x.(y-z-x).(y-z+x) + y.(z+x+y).(z+x-y) = 0 $ ( do $x,y,z \neq 0 $ )

$⇔ z.(x-y-z).(x+z-y) - x.(x+z-y).(x+y-z) + y.(x+z-y).(z+x+y) = 0 $

$⇔(x+z-y).(zx-zy-z^2-x^2-xy+zx+yz+yx+y^2) = 0 $

$⇔(x+z-y).(y^2-z^2-x^2+2xz) = 0 $

$⇔(x+z-y).[y^2-(x-z)^2] = 0 $

$⇔(x+z-y).(y-x+z).(y+x-z) = 0 $

$⇔ \left[ \begin{array}{l}y=z+x\\y=z-x\\y=x-z\end{array} \right.$

+) Với $y=z+x$. Ta có :

$y=z+x ⇒ x+z-y=0$.

Do đó : $ \dfrac{(x-y-z).(x-y+z)}{2xy} = \dfrac{(y-z-x).(y-z+x)}{2yz} = \dfrac{(z+x+y).(z+x-y)}{2zx} = 0 $ 

$⇔ \dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy} -1= \dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz} -1=  \dfrac{z^2+x^2-y^2}{2zx}+1= 0$

$⇔  \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy} =1\\ \dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz} =1\\\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2zx}=-1\end{array} \right.$

$⇒$ Trong ba phân thức đã cho có một phân thức bằng $-1$ và hai phân thức còn lại đều bằng $1$.

+) Với $y=z-x$. Ta có :

$y=z-x ⇒y+x-z=0$

$⇒ \dfrac{(y-z-x).(y-z+x)}{2yz} = 0 $

$⇒ \dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz} - 1 = 0 ⇒ \dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz} = 1$

Từ (*) ta suy ra :

$⇔\bigg( \dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy} +1\bigg)+ \bigg(\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz} -1\bigg) + \bigg(\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2zx}-1\bigg) = 0$

 $⇔ \dfrac{(x+y)^2-z^2}{2xy} + \dfrac{(y-z)^2-x^2}{2yz} + \dfrac{(z-x)^2-y^2}{2zx} = 0 $

$⇔ \dfrac{(x+y-z).(x+y+z)}{2xy} + \dfrac{(y-z-x).(y-z+x)}{2yz} + \dfrac{(z-x+y).(z-x+y)}{2zx} = 0 $ 

Mà có : $x+y-z=0$ nên $ \dfrac{(x+y-z).(x+y+z)}{2xy} = 0 $

$⇒ \dfrac{(x+y)^2-z^2}{2xy} + 1 = 0 ⇒ \dfrac{(x+y)^2-z^2}{2xy} = -1$

$⇒\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy} = -1$. Lại có : $\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz} = 1$. Kết hợp với (*)

$⇒ \dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz} = 1$

$⇒$ Trong ba phân thức đã cho có một phân thức bằng $-1$ và hai phân thức còn lại đều bằng $1$.

+) Với $y=x-z$. Làm tương tự trường hợp $y=z-x$ ta có điều phải chứng minh.