Giải thích các bước giải:
Vì a,b,c là các số dương
=> $\left\{ \begin{array}{l} a + b < a + b + c\\ b + c < a + b + c\\ c + a < a + b + c \end{array} \right.$
=> $\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{{a + b}} > \frac{a}{{a + b + c}}\\ \frac{b}{{b + c}} > \frac{b}{{a + b + c}}\\ \frac{c}{{c + a}} > \frac{c}{{a + b + c}} \end{array} \right.$(do a,b,c>0)
=> $\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} > \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + c}} + \frac{c}{{a + b + c}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1$
Xét
$\begin{array}{l} \frac{a}{{a + b}} - \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\\ = \frac{{{a^2} + ab + ac - ({a^2} + ab + ac + bc)}}{{(a + b)(a + b + c)}}\\ = \frac{{ - bc}}{{(a + b)(a + b + c)}} < 0 \end{array}$
(do b,c>0 nên bc>0)
=> $\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}$
Chứng minh tương tự:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\\ \frac{b}{{b + c}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c}}\\ \frac{c}{{a + c}} < \frac{{b + c}}{{a + b + c}} \end{array} \right.$
=> $\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}} + \frac{{b + a}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c}} = \frac{{2(a + b + c)}}{{a + b + c}} = 2$
=> $1 < \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < 2$
=> $\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}}$ không thể là số nguyên (đpcm)
