Đáp án:
Giải thích các bước giải: Với mọi a; b > 0 :
2(a² + b²) ≥ (a + b)² ≥ 2√(ab)(a + b) ⇔ (a² + b²)/(a + b) ≥ √(ab) (*)
Ta có :
A = x²(x + y) + y²/(y + z) + z²/(z + x)
= (x² - y² + y²)/(x + y) + (y² - z² + z²)/(y + z) + (z² - x² + x²)/(z + x)
= (x - y) + y²/(x + y) + (y - z) + z²/(y + z) + (z - x) + x²/(z + x)
= y²/(x + y) + z²/(y + z) + x²/(z + x)
2A = A + A = [x²(x + y) + y²/(y + z) + z²/(z + x)] + [y²/(x + y) + z²/(y + z) + x²/(z + x)]
= (x² + y²)/(x + y) + (y² + z²)/(y + z) + (z² + x²)/(z + x)
≥ √(xy) + √(yz) + √(zx) = 1 ( áp dụng (*) và giả thiết)
⇒ A = x²/(x + y) + y²/(y + z) + z²/(z + x) ≥ 1/2
Dấu = khi x = y = z = 1/3
