Ta có :
$(x-y)^2 ≥ 0 $
$=> x^2 + y^2 ≥ 2xy $ (1)
Ta có :
$(y-z)^2 ≥ 0$
$=> y^2 + z^2 ≥ 2yz $ (2)
Ta có :
$(x-z)^2 ≥ 0 $
$=> x^2 + z^2 ≥ 2xz $ (3)
Từ (1), (2) và (3)
$ => x^2 + y^2 + z^2 ≥ 2xy + 2yz + 2xz $
Mà $xy + yz + zx < 2xy + 2yz + 2xz $
$=> x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx $
Hay $x^2 + y^2 + z^2 ≥ 12$
$=> (x^2 + y^2 + z^2)^2 ≥ 144 $ (=)
$<=> x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2x^2z^2 ≥ 144 $
Ta có :
$ x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 - 2x^2z^2 ≥ 0$
$=> x^4 + y^4 + z^4 ≥ x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2x^2z^2$
$=> 2(x^4 + y^4 + z^4) ≥ x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2x^2z^2$ (==)
Từ (=) và (==)
$=> 3(x^4 + y^4 + z^4)^2 ≥ 144 $
$<=> x^4 + y^4 + z^4 ≥ 48 $
Dấu '' = '' xảy ra khi :
$x=y=z$
$=> xy + yz + xz = 12 $
$<=> x^2 + x^2 + x^2 = 12 $
$<=> 3x^2 = 12 $
$<=> x = 2 $
$=> x = y = z = 2 $
Vậy GTNN của M là 144 khi $x=y=z=2$
#Hoidap247
