Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\) để chứng minh chứng minh được bất đẳng thức \(\cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4} \ge 0\). Kết hợp với điều kiện để bài để tính được \(\angle A,\,\,\angle B\).
Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác để tính được \(\angle C\). Từ đó rút ra kết luận.Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4}\\ = 2{\cos ^2}A - 1 + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2 - 4{{\sin }^2}B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4}\\ = \left( {2{{\cos }^2}A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \dfrac{3}{4}} \right) + \left( {4{{\sin }^2}B - 4\sin B + 1} \right)\\ = \dfrac{{{{\left( {4{{\cos }^2}A - 1} \right)}^2}\left( {8{{\cos }^2}A + 1} \right)}}{{64{{\cos }^4}A}} + {\left( {2\sin B - 1} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow \cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4} \ge 0\end{array}\)
Mà \(\cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4} \le 0\) nên \(\cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \dfrac{{13}}{4} = 0\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {4{{\cos }^2}A - 1} \right)}^2}\left( {8{{\cos }^2}A + 1} \right)}}{{64{{\cos }^4}A}} + {\left( {2\sin B - 1} \right)^2} = 0\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\cos ^2}A - 1 = 0\\2\sin B - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\cos ^2}A = 1\\2\sin B = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}A = \dfrac{1}{4}\\\sin B = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos A = \dfrac{1}{2}\\\sin B = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle A = {60^ \circ }\\\angle B = {30^ \circ }\end{array} \right.\)
Mà \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^ \circ }\)\( \Leftrightarrow \angle C = {90^ \circ }\).
\( \Rightarrow \angle B + \angle C = {120^ \circ },\)\(\angle A + \angle B = {90^ \circ },\)\(\,\angle A + \angle C = {150^ \circ }\)
Chọn A.