Đáp án:
34
Giải thích các bước giải:
Điều kiện $ x\ge 0 $
Ta có $ \sqrt{2\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1} > 1\Rightarrow 1-\sqrt{2\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)} < 0 $
Khi đó, $ BPT\Leftrightarrow x-\sqrt{x}\le 1-\sqrt{2\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}\Leftrightarrow \sqrt{2\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}\le 1-x+\sqrt{x}\left( 1 \right) $
Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
$ \sqrt{2\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}=\sqrt{\left( 1+1 \right)\left[ {{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}} \right]}\ge 1-x+\sqrt{x}\left( 2 \right) $
Từ $ \left( 1 \right),\left( 2 \right) $ ta có dấu $ ''='' $ xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & 1-x=\sqrt{x} \\ & 1-x+\sqrt{x} > 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & {{\left( 1-x \right)}^{2}}=x \\ & 1-x\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} $
$ \Rightarrow a=3,b=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=34 $
